Комплекс сандар



жүктеу 52.8 Kb.
Дата05.07.2016
өлшемі52.8 Kb.
Н.Нұрмақов атындағы №2 мамандандырылған облыстық

дарынды балалар мектеп-интернаты



КОМПЛЕКС САНДАР ұғымы
(мектепішілік ғылыми-практикалық конференцияға ұсынылады.)
Орындаған: 8-сынып оқушысы Айтжан Темирлан

Қарағанды қаласы – 2010 ж.




КОМПЛЕКС САНДАР.
Комплекс сандар алгебралық теңдеулерді шешу негізінде пайда болды.

Комплекс сан деп z=a+bi түріндегі санды айтамыз, мұндағы a және b –нақты сандар, ал i –жорамал бірлік, i2=–1. a комплекс санның нақты бөлігі, b –оның жорамал бөлігі. Re(z)= a, Im(z) = b

- комплекс сандар жиыны. Әрбір нақты сандар комплекс сан деп қабылдауға болады, себебі, үшін .

Комплекс сандар жиыны нақты сандар жиынының кеңеюі .

z=a+bi және =abi өзара түйіндес сандар деп аталады

z1=a+bi және z2=c+di cандары тең

Комплекс сандарының қосындысы комплекс сан болады.

Қосудың қасиеттері:

"z1,z2,z3C үшін (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3),

$0C, "zC , z+0=0+z=z ,

"zC, $ –zC, z+(–z)=(–z)+z=0 ,

"z1,z2C; z1+z2=z2+z1 .



Комплек сандардың көбейтіндісі комплекс сан.

z=z1×z2=(a+bi)×(c+di)=(ac–bd)+(bc+ad)i.

Көбейтудің қасиеттері:

"z1,z2,z3C (z1×z2)×z3=z1×(z2×z3) (ассоциативті),

$1C, "zC, z×1=1×z=z (1=1+0×i),

"zC, $ z-1C, z×z-1=z-1×z=1 (z=a+bi және z-1= 1/z=(a/(a2+b2))+((–b)/(a2+b2))i),

"z1,z2C, z1×z2=z2×z1 (коммутативті).

Қосу мен көбейту амалдары дистрибутивтілік заңымен байланысқан

.

Комплекс сандардың бөліндісі комплекс сан,




Комплекс сандардың геометриялық мағынасы және тригонометриялық түрі.


Комплекс сандарды координат жазықтығының көмегімен жазықтықтың нүктелері ретінде өрнектеуге болады. Ox - осінің бойына комплекс санның нақты бөлігін (a=a+0∙i), ал Oy осінің бойына оның жорамал бөлігін орналастырсақ (bi=0+bi) жазықтықта әрбір комплекс сан z(a,b) нүктесі түрінде анықталады. тік бұрышты

ïzï r=ïzï=.

z=a+bi=r(cosφ+isinφ)- комплекс санның тригонометриялық түрі.



=r - комплекс санның модулі .

-комплекс санның аргументі.

Тригонометриялық түрдегі комплекс сандарға амалдар қолдану өте жеңіл.

Айталық,

z1=r1(cosφ1+isinφ1),

z2=r2(cosφ2+isinφ2) болсын.

Онда



Егер болса, онда



Муавр формуласы


Комплекс саннан nші дәрежелі түбір табу және 1 ден табылған түбірлердің группасы.

Айталық, а=r(cos+isin) комплекс саны берілсін. Онда жоғарыда қарастырылған көбейту амалының негізінде n- натурал саны үшін



яғни комплекс санды дәрежелегенде оның модулі сол дәрежеге шығарылады, ал аргументі сол дәреже көрсеткішіне көбейтіледі.



теңдігін пайдаланып , Муавр формуласын бүтін теріс сандар үшін де пайдалануға болады.

a=a+bi комплекс санын оң бүтін n дәрежеге шығару үшін Ньютонның биномын пайдаланған орынды, тек

ескерсек жеткілікті.

Муавр формуласының дербес түрін қарастырайық.

cos n

Теңдіктің оң жақ бөлігіне Ньютонның биномды формуласын қолданайық.



Мұндағы

теңдігінің сол және оң жақ бөліктерін салыстырсақ,

теңдіктерін аламыз.

Сонымен, , мұндағы

ға әртүрлі мәндер беру арқылы түбірдің әртүрлі мәндерін аламыз.



Қортынды. Комплекс сандардан n - ші дәрежелі түбірді әрқашан табуға болады және оның әртүрлі n мәні болады.




©tilimen.org 2017
әкімшілігінің қараңыз

    Басты бет